Probabilidad: poner número a lo que no sabes seguro

En el verano de 1654, un jugador profesional llamado Antoine Gombaud —que firmaba como caballero de Méré— estaba perdiendo dinero y no entendía por qué. Llevaba años apostando a que en cuatro tiradas de un dado saldría al menos un seis, y le funcionaba. Decidió que un juego parecido con dos dados también le convenía, apostó a lo grande, y empezó a perder. Como no le salían las cuentas, escribió a un matemático conocido, Blaise Pascal. Pascal no supo resolverlo solo y escribió a otro, Pierre de Fermat. De ese intercambio de cartas entre dos personas que intentaban explicarle a un jugador por qué estaba perdiendo, nació la teoría de la probabilidad.

Cuento esto porque marca el carácter de lo que vas a aprender hoy. La probabilidad no nació en una torre de marfil: nació de alguien que tenía dinero en juego y una intuición equivocada. Y esa es exactamente la situación en la que vas a estar tú. Tu intuición sobre lo que es probable es mala. La de todo el mundo lo es, incluida la mía. La diferencia entre equivocarse y no equivocarse es hacer la cuenta.

Además, hay una razón práctica para empezar por aquí. Cualquier número que vayas a calcular a partir de ahora —una media, un porcentaje de clientes que vuelven, el acierto de una predicción— es una medición, no un hecho. Y toda medición podría haber salido distinta si los datos hubieran sido otros. La probabilidad es el idioma con el que se dice «esto es lo que he medido, y esto es lo que podría estar equivocado». Sin ese idioma, solo puedes afirmar cosas con más seguridad de la que tienes.

## Qué es una probabilidad, en palabras llanas

Una probabilidad es un número entre 0 y 1 que dice con qué frecuencia pasaría algo si la misma situación se repitiera muchas veces. Un 0 significa que nunca pasa. Un 1 significa que pasa siempre. Un 0,25 significa que, de cada cuatro veces, pasa una.

Se escribe de tres formas que significan lo mismo, y conviene que las reconozcas todas porque vas a verlas mezcladas: 0,25 (proporción), 25% (porcentaje) y 1 de cada 4 (frecuencia). Esta última es la más difícil de malinterpretar, y por eso es la que conviene usar cuando hablas con alguien que no trabaja con datos. «Hay un 12% de probabilidad de que este cliente se vaya» suena abstracto; «de cada cien clientes como este, doce se van» se entiende sin esfuerzo y dice lo mismo.

Fíjate en la parte importante de la definición: si la situación se repitiera muchas veces. Una probabilidad no describe lo que va a pasar en un caso concreto. Describe lo que pasa a la larga. Decir que un cliente tiene un 12% de probabilidad de irse no te dice si ese cliente se va a ir: te dice que si tuvieras cien clientes en su misma situación, se irían unos doce. Cuál de los cien, no lo sabes. Esa incomodidad no es un defecto de la herramienta: es la realidad del problema.

Esto tiene una consecuencia práctica que conviene tener clara desde el principio, porque te la van a discutir: una probabilidad no se puede juzgar con un solo caso. Si dices que un cliente tiene un 12% de irse y se va, no te has equivocado — el 12% de las veces pasa. Y si dices que tiene un 85% y se queda, tampoco. La única forma de saber si tus probabilidades son buenas es mirar muchas a la vez: de todos los casos a los que le pusiste un 12%, ¿se fue alrededor del 12%? Esa comprobación tiene nombre y volverás a ella cuando tengas que defender un modelo delante de alguien; por ahora basta con saber que existe, porque es la respuesta al «pues a mí me dijiste que se iba y no se fue».

## Y y O: las dos formas de juntar probabilidades

Casi nunca vas a necesitar una probabilidad sola. Vas a necesitar combinarlas, y hay dos maneras según lo que preguntes. Si preguntas por las dos cosas a la vez —que un cliente abra el correo y compre—, las probabilidades se multiplican. Si preguntas por una cualquiera de las dos —que compre por la web o por la tienda—, se suman.

Multiplicar tiene una consecuencia que sorprende y que vale para tomar decisiones: juntar condiciones hunde la probabilidad muy rápido. Si el 40% de la gente abre el correo, de los que abren el 25% pincha, y de los que pinchan el 10% compra, la probabilidad de que alguien haga las tres cosas es 0,40 × 0,25 × 0,10 = 0,01, un 1%. Tres pasos que sonaban razonables por separado dejan pasar a uno de cada cien. Cada vez que alguien diseñe un proceso con cuatro pasos y espere que la gente lo complete, esta multiplicación es el argumento.

Y sumar tiene su propia trampa, que es más fácil de meter sin darse cuenta: si las dos cosas pueden pasar juntas, sumar a secas cuenta a alguien dos veces. Si el 60% de tus clientes compra por la web y el 50% compra en tienda, la respuesta no es el 110%, porque eso es imposible. Hay gente que compra por los dos canales y la has contado en los dos sitios. Para arreglarlo hay que restar la parte compartida: si el 20% compra por ambos, la respuesta es 60 + 50 − 20 = 90%. Cuando una suma de porcentajes se pasa de 100, no está mal la aritmética: está mal la suposición de que los grupos no se solapan.

## Por qué una probabilidad solo se ve de lejos

Lanza una moneda diez veces. Puedes sacar siete caras. No es una moneda trucada, no has hecho nada mal, y si repites el experimento puedes sacar cuatro. Con diez lanzamientos, el 70% y el 40% son resultados perfectamente normales de una moneda honesta.

Ahora lánzala mil veces. Ya no vas a ver un 70%. Vas a ver algo entre el 47% y el 53%. Y con cien mil, algo entre el 49,6% y el 50,4%. La proporción no cambia de naturaleza: lo que cambia es cuánto se mueve. Cuantas más veces repites, menos se aleja del valor real.

Ese estrechamiento tiene nombre —ley de los grandes números— y una consecuencia que vas a usar cada semana: un porcentaje calculado sobre pocos casos no es un porcentaje, es un rumor. Si alguien te dice que una campaña convierte al 3%, la pregunta no es «¿3% es bueno?». La pregunta es «¿3% sobre cuántos?». Un 3% sobre 40 visitas significa que hubo una conversión y pico; con una visita más habría sido el 5%. Un 3% sobre 40.000 visitas es un dato.

## La moneda no tiene memoria

El 18 de agosto de 1913, en el casino de Monte Carlo, la ruleta cayó en negro veintiséis veces consecutivas. A partir de la decimoquinta, los jugadores empezaron a apostar cantidades enormes al rojo, convencidos de que «ya tocaba». Perdieron millones de francos. La ruleta no sabía nada de las quince tiradas anteriores: en cada tirada, la probabilidad de rojo seguía siendo exactamente la misma.

Dos sucesos son independientes cuando saber que ha pasado uno no cambia la probabilidad del otro. Las tiradas de una ruleta son independientes. Los lanzamientos de una moneda son independientes. Y el error de creer que «ya toca» tiene su nombre propio desde aquel día: la falacia del jugador.

Pero cuidado con la lección contraria, que es la que de verdad importa en este trabajo: casi nada de lo que vas a mirar es independiente. Que un cliente compró la semana pasada cambia la probabilidad de que compre esta. Que llueve hoy cambia la probabilidad de que llueva mañana. Que un usuario abrió el último correo cambia la probabilidad de que abra el siguiente. La independencia es la excepción, y suponerla cuando no la hay es una de las formas más comunes de calcular mal.

## La idea más útil de toda la lección: condicionar

Cuando saber una cosa cambia la probabilidad de otra, lo que estás haciendo es condicionar: dejar de mirar todos los casos y mirar solo un trozo. Se escribe `P(A | B)` y se lee «la probabilidad de A dado que sabemos B». Esa barra vertical no es una división: significa «entre los casos en los que pasa B».

Un ejemplo con números pequeños para que se vea. Tienes cien clientes. Treinta se han dado de baja este año, así que la probabilidad de baja es 30 de 100, un 30%. Ahora te fijas solo en los veinte clientes que abrieron una incidencia de soporte: de esos veinte, doce se dieron de baja. La probabilidad de baja entre los que abrieron incidencia es 12 de 20, un 60%. El mismo dato, dos números distintos, y ninguno de los dos está mal: son respuestas a preguntas diferentes.

Y aquí viene la parte que hay que memorizar, porque es la fuente del error más caro de toda la estadística aplicada: `P(A | B)` y `P(B | A)` son dos números distintos, y la gente los confunde todo el tiempo. «La probabilidad de que llueva dado que hay nubes» no es «la probabilidad de que haya nubes dado que llueve». La segunda es casi 1; la primera, bastante menos. Cambia el orden y cambias la pregunta.

## La trampa que se lleva por delante a media sala

Vamos a montar el caso que mejor enseña esto. Existe una prueba para detectar una enfermedad. Es buena: detecta al 99% de los enfermos. Y se equivoca poco con los sanos: da una falsa alarma en el 5% de ellos. La enfermedad la tiene 1 de cada 1.000 personas.

Te haces la prueba y sale positiva. ¿Qué probabilidad tienes de estar enfermo? Piensa un número antes de seguir leyendo. La mayoría de la gente dice 99%, o alrededor del 95%. Es la respuesta equivocada, y no por poco.

La forma de no equivocarse es dejar de pensar en porcentajes y contar personas. Imagina 100.000 personas que se hacen la prueba. Como la enfermedad la tiene 1 de cada 1.000, hay 100 enfermos y 99.900 sanos. Entre los 100 enfermos, la prueba detecta al 99%: da positivo en 99 de ellos. Entre los 99.900 sanos, se equivoca en el 5%: da positivo en 4.995 de ellos.

Suma los positivos: 99 enfermos de verdad más 4.995 falsas alarmas son 5.094 positivos en total. Tú eres uno de esos 5.094. ¿Cuántos están enfermos? 99. Así que tu probabilidad de estar enfermo es 99 dividido entre 5.094, que es el 1,9%.

¿Por qué pasa esto? Porque los sanos son muchísimos más. Un 5% de error sobre 99.900 personas produce casi cinco mil falsas alarmas, y esas cinco mil sepultan a los 99 aciertos. El problema no es que la prueba sea mala: es que la enfermedad es rara, y cuando buscas algo raro, tus errores son más numerosos que tus aciertos aunque te equivoques poco.

Guarda esta cuenta, porque no es un ejercicio de clase: es exactamente la misma aritmética que vas a usar cuando tengas que decidir si una predicción sirve para algo. «De los casos que mi sistema ha marcado, ¿cuántos eran de verdad?» es la pregunta que decide si un aviso se puede mandar a una persona o solo hace perder el tiempo. La volverás a ver, con otro nombre y aplicada a tus propios resultados.

## La misma trampa sin un solo médico

Conviene ver el patrón fuera de la enfermedad, porque si solo lo asocias a pruebas médicas no lo vas a reconocer cuando aparezca en tu trabajo. Y aparece constantemente. Una empresa monta un sistema para avisar de qué clientes van a darse de baja el mes que viene. Funciona bien: de los que efectivamente se van, caza al 80%. Y se equivoca poco con el resto: solo marca al 10% de los que se quedan.

Cuenta clientes en lugar de fiarte del porcentaje. De 10.000 clientes, se van 300 al mes, un 3%. El sistema caza al 80% de esos 300: avisa de 240. Quedan 9.700 que no se van, y marca al 10%: avisa de 970 que no pensaban irse. En total 1.210 avisos, de los cuales 240 son ciertos. Un 19,8%. Cuatro de cada cinco llamadas de retención van a ir a alguien que no se iba.

Y aquí la lección se vuelve práctica de verdad, porque esto no significa que el sistema sea inútil. Depende de lo que cueste cada llamada y de lo que valga cada cliente salvado. Si retener a un cliente vale 400 euros y una llamada cuesta 15, esas 1.210 llamadas cuestan 18.150 euros y salvan como mucho 240 clientes: 96.000 euros. Merece la pena con holgura, aunque el 80% de las llamadas «falle». Sin el sistema tendrías que llamar a los 10.000 para encontrar a los mismos 300.

## Probabilidad por consecuencia: el valor esperado

Lo de las llamadas de retención ya era esto sin nombrarlo: una probabilidad sola no basta para decidir. Un 1% de probabilidad de perder un céntimo y un 1% de probabilidad de perder la casa son el mismo número y dos situaciones que no se parecen en nada. Para decidir hace falta multiplicar la probabilidad por lo que está en juego, y eso se llama valor esperado: la suma de cada resultado posible multiplicado por su probabilidad.

1# Dos campanas para el mismo presupuesto de 10.000 euros.
2# Cada una tiene una probabilidad de funcionar y un beneficio si funciona.
3
4# Campana A: casi seguro, poco premio
5prob_a, gana_a, pierde_a = 0.90, 14000, -10000
6
7# Campana B: poco probable, premio gordo
8prob_b, gana_b, pierde_b = 0.20, 80000, -10000
9
10esperado_a = prob_a * gana_a + (1 - prob_a) * pierde_a
11esperado_b = prob_b * gana_b + (1 - prob_b) * pierde_b
12
13print("Campana A:", round(esperado_a), "euros")
14print("Campana B:", round(esperado_b), "euros")

## Cómo se dice esto en una reunión

Traducir probabilidad a lenguaje que no espante es parte del trabajo, y hay cuatro frases que resuelven casi todas las situaciones:

• ▹En vez de «hay un 12% de probabilidad»: «de cada cien clientes en esta situación, unos doce se van». Nadie discute una frecuencia y todo el mundo discute un porcentaje.
• ▹En vez de «no es estadísticamente significativo»: «con los datos que tenemos todavía no se puede distinguir de la casualidad; necesito más semanas o más volumen».
• ▹Cuando te dan un porcentaje sin denominador: «¿sobre cuántos casos está calculado?». Sin retintín, como quien pregunta la hora.
• ▹Cuando alguien celebra un detector muy fiable: «¿cada cuánto pasa lo que detecta?». Si es raro, la mayoría de los avisos serán falsos y conviene saberlo antes de montar un proceso encima.

## Resumen: lo que te llevas

1. 01.Una probabilidad es la frecuencia a la que pasa algo si la situación se repite. No dice nada seguro sobre un caso concreto.
2. 02.Un porcentaje sobre pocos casos no es un porcentaje. Pide siempre el denominador.
3. 03.La moneda no tiene memoria: en sucesos independientes, «ya toca» es falso. Pero casi nada de lo que vas a mirar es independiente.
4. 04.Condicionar es mirar solo un trozo de los datos y volver a contar ahí dentro.
5. 05.`P(A | B)` no es `P(B | A)`. Confundirlas es el error más caro que existe en este oficio.
6. 06.Cuando buscas algo raro, tus falsas alarmas superan a tus aciertos aunque te equivoques poco. Eso es la tasa base, y sin ella un porcentaje de acierto no se puede interpretar.
7. 07.Para decidir hace falta probabilidad y consecuencia: eso es el valor esperado.

Con esto ya tienes el idioma. Lo siguiente es ver cómo se reparte: cuando una probabilidad no se refiere a un único suceso sino a todos los valores que puede tomar una cifra —lo que cobra la gente, lo que tarda un pedido, lo que gasta un cliente—, ese reparto tiene forma. Y la forma que tiene decide qué cuentas puedes hacer y cuáles te van a mentir.